Encontrando raízes pelo método de Newton-Raphson [Cálculo Numérico]

Questão 01
A função, f(x)= 2x — cos(x) possui uma raiz real x isolada no intervalo [O,pi/4}. Calcule o valor de x com quatro casas decimais através do Método de Newton-Raphson.

1ºpasso: derivada de f(x)

f(x)= 2x — cos(x)
f'(x)= sen(x) + 2


2ºpasso= Formula de Newton-Raphson para o problema:


${ x }_{ i+1 }={ x }_{ i }\quad -\quad \frac { 2{ x }_{ i }\quad -\quad cos({ x }_{ i })\quad  }{ 2\quad +\quad sen({ x }_{ i }) } $

3º passo = escolha de Xo

Uma boa opção é escolher a média aritmética do intervalo, portanto: ( 0+ (pi/4))/2= Xo

Xo = $\pi /8$

4º passo =  Execução das iterações

Iterações	Xi	Xi+1
0	0,3927	0,4508
1	0,4508	0,4502
2	0,4502	0,4502

A raiz é x=0,4502

Outro modo de usar essa tabela é:

Iterações	Xi	f(x) = 2x – cos(x)	f’(x)= 2 + sen(x)	Xn+1
0	0,3927	-0,1384	2,3826	0,4508
1	0,4508	0,0015	2,4357	0,4502
2	0,4502	0,0000

Como  o exercício pede com precisão de 4 casas, a raiz é x=0,4502

Questão 02
Sabe-se que a função
$f(x)\quad ={ e }^{ x }\quad +\quad \frac { 1 }{ 2 } x$

possui uma raiz real no intervalo [-0,9;-0,8). Calcule o valor de x com quatro casas decimais.



1º passo: Derivada de f(x).
$f(x)\quad ={ e }^{ x }\quad +\quad \frac { 1 }{ 2 } x$
$f'(x)\quad =\quad { e }^{ x }\quad +\frac { 1 }{ 2 } $
2º passo: escolha do Xo

Xo=-0,85

3º passo: Execução das iterações pelo método  de Newton-Raphson.

Iterações	Xi	f(x) = e^x + (1/2) x	f’(x)= e^x + (1/2)	Xn+1
0	-0,85	0,0024	0,9274	-0,8526
1	-0,8526	0,0000

Como  o exercício pede com precisão de 4 casas, a raiz é x=-0,8526



Questão 03
Encontre a raiz aproximada de f(x)= 5x^4 — sen(x) com quatro casas decimais. Use Xo = 0,5.




1º passo: derivada de f(x).

f(x)= 5x^4 — sen(x)
f'(x)= 20x³- cos(x)

2º passo: Execução das iterações pelo método  de Newton-Raphson.

Iterações	Xi	f(x) = 5x^4 - sen(x)	f’(x)= 20x³ - cos(x)	Xn+1
0	0,5	-0,1669	1,6224	0,6029
1	0,6029	0,0936	3,5592	0,5766
2	0,5766	0,0075	2,9956	0,5741
3	0,5741	0,0000

Como pede com precisão de 4 casas, a raiz é x=0,5741

Questão 04
O aquecimento de uma caldeira obedece a equação T = ln(t+1)+5t . Em quanto tempo ela atingirá a temperatura T=30º? Usar o Método de Newton-Raphson e duas casas decimais de precisão.

1º passo: análise do gráfico para encontrar o intervalo

x	4	5	6	7	8	9
f(x)	-	-	+	+	+	+

Há no mínimo uma raiz no intervalo [5,6] (Teorema de Bolzano)

2º passo: derivada de f(x).
T(x) = ln(t+1) + 5t
30 = ln(t+1) +5t
ln(t+1) + 5t -30 = 0

T '(x) = ( 1/(t+1) )+5

3º passo: escolha do Xo (chute inicial)

Xo= 5,5

4º passo: Execução das iterações pelo método  de Newton-Raphson. 

Iterações	Xi	f(x) = ln(t+1) + 5t - 30	f’(x)= (1/(t+1)) + 5	Xn+1
0	5,5	-0,63	5,15	5,62
1	5,62	0,00

O tempo t em que a temperatura é 30º u.m. é t=5,2 u.t.